All issues

В работе решается задача вычисления параметров случайного сигнала в условиях распределения Райса на основе принципа максимума правдоподобия в предельных случаях большого и малого значения отношения сигнала к шуму. Получены аналитические формулы для решения системы уравнений максимума правдоподобия для искомых параметров сигнала и шума как для однопараметрического приближения, когда рассчитывается только один параметр задачи — величина сигнала, в предположении априорной известности второго параметра — дисперсии шума, так и для двухпараметрической задачи, когда оба параметра априорно неизвестны. Непосредственное вычисление искомых параметров сигнала и шума по формулам позволяет избежать необходимости ресурсоемкого численного решения системы нелинейных уравнений и тем самым оптимизировать время компьютерной обработки сигналов и изображений. Представлены результаты компьютерного моделирования задачи, подтверждающие теоретические выводы. Задача является значимой для целей обработки райсовских данных, в частности, в системах магнитно-резонансной визуализации.

The paper provides a solution of a task of calculating the parameters of a Rician distributed signal on the basis of the maximum likelihood principle in limiting cases of large and small values of the signal-tonoise ratio. The analytical formulas are obtained for the solution of the maximum likelihood equations’ system for the required signal and noise parameters for both the one-parameter approximation, when only one parameter is being calculated on the assumption that the second one is known a-priori, and for the two-parameter task, when both parameters are a-priori unknown. The direct calculation of required signal and noise parameters by formulas allows escaping the necessity of time resource consuming numerical solving the nonlinear equations’ s system and thus optimizing the duration of computer processing of signals and images. There are presented the results of computer simulation of a task confirming the theoretical conclusions. The task is meaningful for the purposes of Rician data processing, in particular, magnetic-resonance visualization.

В данной статье исследуются методы машинного обучения с определенным видом решающего правила. К ним относятся интерполяция по методу обратно взвешенных расстояний, метод интерполяции радиальными базисными функциями, метод многомерной интерполяции и аппроксимации на основе теории случайных функций, кригинг. Показано, что для данных методов существует способ быстрого переобучения «модели» при добавлении новых данных к существующим. Под «моделью» понимается построенная по обучающим данным интерполирующая или аппроксимирующая функция. Данный подход позволяет уменьшить вычислительную сложность построения обновленной «модели» с $O(n^3)$ до $O(n^2)$. Также будет исследована возможность быстрого оценивания обобщающих возможностей «модели» на обучающей выборке при помощи метода скользящего контроля leave-one-out cross-validation, устранив главный недостаток такого подхода — необходимость построения новой «модели» при каждом удалении элемента из обучающей выборки.

We investigate machine learning methods with a certain kind of decision rule. In particular, inverse-distance method of interpolation, method of interpolation by radial basis functions, the method of multidimensional interpolation and approximation, based on the theory of random functions, the last method of interpolation is kriging. This paper shows a method of rapid retraining “model” when adding new data to the existing ones. The term “model” means interpolating or approximating function constructed from the training data. This approach reduces the computational complexity of constructing an updated “model” from $O(n^3)$ to $O(n^2)$. We also investigate the possibility of a rapid assessment of generalizing opportunities “model” on the training set using the method of cross-validation leave-one-out cross-validation, eliminating the major drawback of this approach — the necessity to build a new “model” for each element which is removed from the training set.

В данной статье исследуется метод машинного обучения на основе теории случайных функций. Одной из основных проблем данного метода является то, что вид решающего правила модели метода, построенной на данных обучающей выборки, становится более громоздким при увеличении количества примеров выборки. Решающее правило модели является наиболее вероятной реализацией случайной функции и представляется в виде многочлена с количеством слагаемых, равным количеству обучающих элементов выборки. В статье будет показано, что для рассматриваемого метода существует быстрый способ сокращения обучающей выборки и, соответственно, вида решающего правила. Уменьшение примеров обучающей выборки происходит за счет поиска и удаления малоинформативных (слабых) элементов, которые незначительно влияют на итоговый вид решающей функции, и шумовых элементов выборки. Для каждого $(x_i,y_i)$-го элемента выборки было введено понятие значимости, выражающееся величиной отклонения оцененного значения решающей функции модели в точке $x_i$, построенной без $i$-го элемента, от реального значения $y_i$. Будет показана возможность косвенного использования найденных слабых элементов выборки при обучении модели метода, что позволяет не увеличивать количество слагаемых в полученной решающей функции. Также в статье будут описаны проведенные эксперименты, в которых показано, как изменение количества обучающих данных влияет на обобщающую способность решающего правила модели в задаче классификации.

This article explores a method of machine learning based on the theory of random functions. One of the main problems of this method is that decision rule of a model becomes more complicated as the number of training dataset examples increases. The decision rule of the model is the most probable realization of a random function and it's represented as a polynomial with the number of terms equal to the number of training examples. In this article we will show the quick way of the number of training dataset examples reduction and, accordingly, the complexity of the decision rule. Reducing the number of examples of training dataset is due to the search and removal of weak elements that have little effect on the final form of the decision function, and noise sampling elements. For each $(x_i,y_i)$-th element sample was introduced the concept of value, which is expressed by the deviation of the estimated value of the decision function of the model at the point $x_i$, built without the $i$-th element, from the true value $y_i$. Also we show the possibility of indirect using weak elements in the process of training model without increasing the number of terms in the decision function. At the experimental part of the article, we show how changed amount of data affects to the ability of the method of generalizing in the classification task.

Безградиентные методы оптимизации, или методы нулевого порядка, широко применяются в обучении нейронных сетей, обучении с подкреплением, а также в промышленных задачах, где доступны лишь значения функции в точке (работа с неаналитическими функциями). В частности, метод обратного распространения ошибки в PyTorch работает именно по этому принципу. Существует общеизвестный факт, что при компьютерных вычислениях используется эвристика чисел с плавающей точкой, и из-за этого возникает проблема конечности мантиссы.

В этой работе мы, во-первых, сделали обзор наиболее популярных методов аппроксимации градиента: конечная прямая/центральная разность (FFD/FCD), покомпонентная прямая/центральная разность (FWC/CWC), прямая/центральная рандомизация на $l_2$ сфере (FSSG2/CFFG2); во-вторых, мы описали текущие теоретические представления шума, вносимого неточностью вычисления функции в точке: враждебный шум, случайный шум; в-третьих, мы провели серию экспериментов на часто встречающихся классах задач, таких как квадратичная задача, логистическая регрессия, SVM, чтобы попытаться определить, соответствует ли реальная природа машинного шума существующей теории. Оказалось, что в реальности (по крайней мере на тех классах задач, которые были рассмотрены в данной работе) машинный шум оказался чем-то средним между враждебным шумом и случайным, в связи с чем текущая теория о влиянии конечности мантиссы на поиск оптимума в задачах безградиентной оптимизации требует некоторой корректировки.

Gradient-free optimization methods or zeroth-order methods are widely used in training neural networks, reinforcement learning, as well as in industrial tasks where only the values of a function at a point are available (working with non-analytical functions). In particular, the method of error back propagation in PyTorch works exactly on this principle. There is a well-known fact that computer calculations use heuristics of floating-point numbers, and because of this, the problem of finiteness of the mantissa arises.

In this paper, firstly, we reviewed the most popular methods of gradient approximation: Finite forward/central difference (FFD/FCD), Forward/Central wise component (FWC/CWC), Forward/Central randomization on $l_2$ sphere (FSSG2/CFFG2); secondly, we described current theoretical representations of the noise introduced by the inaccuracy of calculating the function at a point: adversarial noise, random noise; thirdly, we conducted a series of experiments on frequently encountered classes of problems, such as quadratic problem, logistic regression, SVM, to try to determine whether the real nature of machine noise corresponds to the existing theory. It turned out that in reality (at least for those classes of problems that were considered in this paper), machine noise turned out to be something between adversarial noise and random, and therefore the current theory about the influence of the mantissa limb on the search for the optimum in gradient-free optimization problems requires some adjustment.

В различных областях науки при моделировании и статистическом анализе данных, характеризующихся цикличностью (периодичностью), используют круговые или обернутые модели распределений. В работе рассматривается плотность распределения вероятностей фазы гармонического сигнала и сигнала с фазовой манипуляцией в условиях аддитивного белого гауссовского шума. Представлены выражения для моделирования выборки случайных фаз гармонического и модулированного сигналов с заданными параметрами и корреляционной функцией. Приведены выражения для плотности распределения фаз фазоманипулированного сигнала. Показано, что плотность распределения фазоманипулированного сигнала становится мультимодальной. Кроме того, рассматриваемая плотность распределения является периодической функцией, а значит, для ее разложения в ряд естественно использование тригонометрического базиса Фурье. В работе впервые получены аналитические выражения для коэффициентов ряда Фурье при разложении рассматриваемой плотности по гармоническому базису и представлен вывод соответствующих выражений. Представлены примеры компьютерного моделирования и соответствующие графические материалы при вычислении коэффициентов Фурье функции плотности распределения вероятностей фаз для гармонического и фазоманипулированного сигналов. Также выведены выражение для функции распределения фазы и его разложение в ряд Фурье. На основе представления плотности распределения фаз в виде ряда Фурье проведено сравнение с другими круговыми распределениями, часто применяемыми в практических задачах, — распределение Мизеса и обернутое нормальное распределение. Полученные в работе результаты представляют теоретический и практический интерес для моделирования и статистического анализа фаз сигналов в различных прикладных задачах в области радиотехники, цифровой связи, радиолокации. В частности, в задачах оценки отношения «сигнал/шум», вероятности ошибки на бит, а также надежности решений демодулятора, т.е. мягкой демодуляции фазоманипулированных сигналов. Аналитические выражения для коэффициентов ряда Фурье могут быть использованы при оценке эмпирической плотности распределения.

For modeling and statistical analysis of data characterized by cyclicity (periodicity) in various areas of science are used circular or wrapped distribution models. The phase distribution function of a harmonic and phase-shift-keying signal in case additive white Gaussian noise is considered. Algorithms for modeling random phases sample of harmonic and modulated signals with specified parameters and correlation function are presented. Expressions for the phase distribution density of the phase-shift-keying signal are given. It is shown that the phase probability density function of the phase-shift-keying signal becomes multimodal. In addition, the probability density function under consideration is a periodic function, which means that the trigonometric Fourier basis can be used to decompose it into a series. In paper for the first time, analytical expressions for the coefficients of the Fourier series when decomposing the density under consideration into a harmonic basis are obtained, and the derivation of the corresponding expressions are presented. Examples of computer modeling and corresponding graphical materials of calculating Fourier coefficients of the phase probability density function for harmonic and phase-shift-keying signals are presented. A formula for the cumulative distribution function and its decomposition into a Fourier series are also obtained. Based on the representation of the phase probability density function in the form of a Fourier series, a comparison is made with other circular distributions often used in practical problems, the Mises distribution and the wrapped normal distribution. The results obtained in this work are of theoretical and practical interest for modeling and statistical analysis of signal phases in various applied problems in area radio engineering, digital communication, radar, etc. In particular, in the problems of estimating the signal-to-noise ratio, the bit error rate, as well as the reliability of demodulator solutions, i. e. soft demodulation of phase-shift-keying signals. Analytical expressions for the Fourier series coefficients can be used to estimate the empirical probability density function.

Работа посвящена проблеме анализа близости популяционной системы к опасным границам, при пересечении которых в системе разрушается устойчивое сосуществование взаимодействующих популяций. В качестве причины такого разрушения рассматриваются случайные возмущения, неизбежно присутствующие в любой живой системе. Это исследование проводится на примере известной модели взаимодействия популяций хищника и жертвы, учитывающей как стабилизирующий фактор конкуренции хищника за отличные от жертвы ресурсы, так и дестабилизирующий фактор насыщения хищника. Для описания насыщения хищника используется трофическая функция Холлинга второго типа. Динамика системы исследуется в зависимости от коэффициента, характеризующего насыщение хищника, и коэффициента конкуренции хищника за отличные от жертвы ресурсы. В работе дается параметрическое описание возможных режимов динамики детерминированной модели, исследуются локальные и глобальные бифуркации и выделяются зоны устойчивого сосуществования популяций в равновесном и осцилляционном режимах. Интересной математической особенностью данной модели, впервые рассмотренной Базыкиным, является глобальная бифуркация рождения цикла из петли сепаратрисы. В работе исследуется воздействие шума на равновесный и осцилляционный режимы сосуществования популяций хищника и жертвы. Показано, что увеличение интенсивности случайных возмущений может привести к значительным деформациям этих режимов вплоть до их разрушения. Целью данной работы является разработка конструктивного вероятностного критерия близости этой стохастической системы к опасным границам. Основой предлагаемого математического подхода является техника функций стохастической чувствительности и метод доверительных областей — доверительных эллипсов, окружающих устойчивое равновесие, и доверительных полос вокруг устойчивого цикла. Размеры доверительных областей пропорциональны интенсивности шума и стохастической чувствительности исходных детерминированных аттракторов. Геометрическим критерием выхода популяционной системы из режима устойчивого сосуществования является пересечение доверительных областей и соответствующих сепаратрис детерминированной модели. Эффективность данного аналитического подхода подтверждается хорошим соответствием теоретических оценок и результатов прямого численного моделирования.

The paper is devoted to the analysis of the proximity of the population system to dangerous boundaries. An intersection of these boundaries results in the collapse of the stable coexistence of interacting populations. As a reason of such destruction one can consider random perturbations inevitably presented in any living system. This study is carried out on the example of the well-known model of interaction between predator and prey populations, taking into account both a stabilizing factor of the competition of predators for another than prey resources, and also a destabilizing saturation factor for predators. To describe the saturation of predators, we use the second type Holling trophic function. The dynamics of the system is studied as a function of the predator saturation, and the coefficient of predator competition for resources other than prey. The paper presents a parametric description of the possible dynamic regimes of the deterministic model. Here, local and global bifurcations are studied, and areas of sustainable coexistence of populations in equilibrium and the oscillation modes are described. An interesting feature of this mathematical model, firstly considered by Bazykin, is a global bifurcation of the birth of limit cycle from the separatrix loop. We study the effects of noise on the equilibrium and oscillatory regimes of coexistence of predator and prey populations. It is shown that an increase of the intensity of random disturbances can lead to significant deformations of these regimes right up to their destruction. The aim of this work is to develop a constructive probabilistic criterion for the proximity of the population stochastic system to the dangerous boundaries. The proposed approach is based on the mathematical technique of stochastic sensitivity functions, and the method of confidence domains. In the case of a stable equilibrium, this confidence domain is an ellipse. For the stable cycle, this domain is a confidence band. The size of the confidence domain is proportional to the intensity of the noise and stochastic sensitivity of the initial deterministic attractor. A geometric criterion of the exit of the population system from sustainable coexistence mode is the intersection of the confidence domain and the corresponding separatrix of the unforced deterministic model. An effectiveness of this analytical approach is confirmed by the good agreement of theoretical estimates and results of direct numerical simulations.

Схемы WENO (взвешенные, существенно не осциллирующие схемы) в настоящее время имеют достаточно обширную область применения для аппроксимации разрывных решений в уравнениях в частных производных. Данные схемы применялись для прямого численного моделирования и моделирования динамики больших вихрей в задачах газовой динамики, задачах МГД и даже для задач нейтронной кинетики. Данная работа посвящена уточнению некоторых характеристик схем WENO и численному моделированию характерных задач, которые позволяют сделать выводы обоб ласти применимости данных схем. Первая часть работы содержала результаты по доказательству свойств аппроксимации, устойчивости и сходимости схем WENO5, WENO7, WENO9, WENO11 и WENO13. Во второй части работы проводится модифицированный волновой анализ, позволяющий сделать вывод о дисперсионных и диссипативных свойствах схем. Далее, проводится численное моделирование ряда характерных задач для уравнений гиперболического типа: уравнений переноса (одномерное и двухмерное), уравнения Хопфа, уравнения Бюргерса (с малой диссипацией) и уравнения динамики невязкого газа (одномерное и двухмерное). Для каждой из задач, подразумевающих гладкое решение, приведено практическое вычисление порядка аппроксимации с помощью метода Рунге. Во всех задачах проверяются выводы, сделанные в первой части работы по влиянию шага по времени на нелинейные свойства схем. В частности, для уравнений переноса разрывной функции и уравнений Хопфа показано, что невыполнение указанных рекомендаций ведет вначале к росту вариации решения, а затем включается диссипативный нелинейный механизм схемы и аппроксимация падает. Практически подтверждены выводы первой части по условиям устойчивости. Для одномерного уравнения Бюргерса проведено моделирование затухания случайно распределенных начальных условий в периодической области и выполнено сопоставление со спектральным методом. Делается вывод о применимости схем WENO7–WENO13 для прямого численного моделирования турбулентности. В конце демонстрируются возможности схем на начально-краевых задачах для уравнений динамики невязкого газа: неустойчивость Рэлея–Тейлора и отражение ударной волны от клина с образованием сложной конфигурации ударных волн и разрывов.

WENO schemes (weighted, essentially non oscillating) are currently having a wide range of applications as approximate high order schemes for discontinuous solutions of partial differential equations. These schemes are used for direct numerical simulation (DNS) and large eddy simmulation in the gas dynamic problems, problems for DNS in MHD and even neutron kinetics. This work is dedicated to clarify some characteristics of WENO schemes and numerical simulation of specific tasks. Results of the simulations can be used to clarify the field of application of these schemes. The first part of the work contained proofs of the approximation properties, stability and convergence of WENO5, WENO7, WENO9, WENO11 and WENO13 schemes. In the second part of the work the modified wave number analysis is conducted that allows to conclude the dispersion and dissipative properties of schemes. Further, a numerical simulation of a number of specific problems for hyperbolic equations is conducted, namely for advection equations (one-dimensional and two-dimensional), Hopf equation, Burgers equation (with low dissipation) and equations of non viscous gas dynamics (onedimensional and two-dimensional). For each problem that is implying a smooth solution, the practical calculation of the order of approximation via Runge method is performed. The influence of a time step on nonlinear properties of the schemes is analyzed experimentally in all problems and cross checked with the first part of the paper. In particular, the advection equations of a discontinuous function and Hopf equations show that the failure of the recommendations from the first part of the paper leads first to an increase in total variation of the solution and then the approximation is decreased by the non-linear dissipative mechanics of the schemes. Dissipation of randomly distributed initial conditions in a periodic domain for one-dimensional Burgers equation is conducted and a comparison with the spectral method is performed. It is concluded that the WENO7–WENO13 schemes are suitable for direct numerical simulation of turbulence. At the end we demonstrate the possibility of the schemes to be used in solution of initial-boundary value problems for equations of non viscous gas dynamics: Rayleigh–Taylor instability and the reflection of the shock wave from a wedge with the formation a complex configuration of shock waves and discontinuities.

В работе изложены основные моменты приближения среднего поля в применении к многокомпонентным стохастическим реакционно-диффузионным системам.

Представлена изучаемая модель химической реакции — брюсселятор. Записаны кинетические уравнения реакции, учитывающие диффузию промежуточных компонент и флуктуации концентраций исходных веществ. Флуктуации моделируются как случайные гауссовы однородные и изотропные в пространстве поля, с нулевым средним и пространственной корреляционной функцией, имеющей нетривиальную структуру. В работе рассматриваются значения параметров модели, соответствующие пространственно неоднородному упорядоченному состоянию в детерминированном случае.

В работе получено одноточечное двумерное нелинейное самосогласованное уравнение Фоккера–Планка в интерпретации Стратоновича в приближении среднего поля для пространственно распределенного стохастического брюсселятора, которое описывает динамику плотности распределения вероятностей значений концентраций компонент рассматриваемой системы. Найдены значения интенсивности внешнего шума, соответствующие двум типам решений уравнения Фоккера–Планка: решению с времен- ной бимодальностью и решению с многократным чередованием одно- и бимодального видов плотности вероятностей. Проведено численное исследование динамики плотности распределения вероятностей и изучено поведение во времени дисперсий, математических ожиданий и наиболее вероятных значений концентраций компонент при различных значениях интенсивности шума и бифуркационного параметра в указанных областях параметров задачи.

Показано, что, начиная с некоторого значения интенсивности внешнего шума, внутри упорядоченной фазы зарождается беспорядок, существующий конечное время, причем чем больше шум, тем больше его время жизни. Чем дальше от точки бифуркации, тем меньше шум, который его порождает, и тем уже область значений интенсивности шума, при которых система эволюционирует к упорядоченному, но уже новому статистически стационарному состоянию. При некотором втором значении интенсивности шума возникает перемежаемость упорядоченной и разупорядоченной фаз. Увеличение интенсивности шума приводит к тому, что частота перемежаемости увеличивается.

Таким образом, показано, что сценарием шумоиндуцированного перехода «порядок–беспорядок» в изучаемой системе является перемежаемость упорядоченной и разупорядоченной фаз.

We now review the main points of mean-field approximation (MFA) in its application to multicomponent stochastic reaction-diffusion systems.

We present the chemical reaction model under study — brusselator. We write the kinetic equations of reaction supplementing them with terms that describe the diffusion of the intermediate components and the fluctuations of the concentrations of the initial products. We simulate the fluctuations as random Gaussian homogeneous and spatially isotropic fields with zero means and spatial correlation functions with a non-trivial structure. The model parameter values correspond to a spatially-inhomogeneous ordered state in the deterministic case.

In the MFA we derive single-site two-dimensional nonlinear self-consistent Fokker–Planck equation in the Stratonovich's interpretation for spatially extended stochastic brusselator, which describes the dynamics of probability distribution density of component concentration values of the system under consideration. We find the noise intensity values appropriate to two types of Fokker–Planck equation solutions: solution with transient bimodality and solution with the multiple alternation of unimodal and bimodal types of probability density. We study numerically the probability density dynamics and time behavior of variances, expectations, and most probable values of component concentrations at various noise intensity values and the bifurcation parameter in the specified region of the problem parameters.

Beginning from some value of external noise intensity inside the ordered phase disorder originates existing for a finite time, and the higher the noise level, the longer this disorder “embryo” lives. The farther away from the bifurcation point, the lower the noise that generates it and the narrower the range of noise intensity values at which the system evolves to the ordered, but already a new statistically steady state. At some second noise intensity value the intermittency of the ordered and disordered phases occurs. The increasing noise intensity leads to the fact that the order and disorder alternate increasingly.

Thus, the scenario of the noise induced order–disorder transition in the system under study consists in the intermittency of the ordered and disordered phases.

В работе развивается новый математический метод решения задачи совместного расчета параметров сигнала и шума в условиях статистического распределения Райса посредством метода моментов, основанного на анализе данных для начальных моментов 1-го и 3-го порядков случайной райсовской величины. Получена в явном виде система уравнений для искомых параметров сигнала и шума. В предельном случае малой величины отношения сигнала к шуму получены аналитические формулы, позволяющие рассчитать искомые параметры задачи без необходимости численного решения уравнений. Развитый в работе метод обеспечивает эффективное разделение информативной и шумовой компонент анализируемых данных в отсутствие каких-либо априорных предположений, лишь на основе обработки результатов выборочных измерений сигнала. Задача является значимой для целей обработки райсовских данных, в частности, в системах магнитно-резонансной визуализации, в системах ультразвуковой визуализации, при анализе оптических сигналов в системах дальнометрии, в радиолокации и т. д. Как показали результаты исследований, решение двухпараметрической задачи разработанным методом не приводит к увеличению объема требуемых вычислительных ресурсов по сравнению с решением однопараметрической задачи, решаемой в предположении априорной известности второго параметра. В работе приведены результаты компьютерного моделирования разработанного метода. Результаты численного расчета параметров сигнала и шума разработанным методом подтверждают его эффективность. Проведено сопоставление точности определения искомых параметров развитым в работе методом и ранее разработанным вариантом метода моментов, основанным на обработке измеренных данных для низших четных моментов анализируемого сигнала.

The paper develops a new mathematical method of the joint signal and noise parameters determination at the Rice statistical distribution by method of moments based upon the analysis of data for the 1-st and the 3-rd raw moments of the random rician value. The explicit equations’ system have been obtained for required parameters of the signal and noise. In the limiting case of the small value of the signal-to-noise ratio the analytical formulas have been derived that allow calculating the required parameters without the necessity of solving the equations numerically. The technique having been elaborated in the paper ensures an efficient separation of the informative and noise components of the data to be analyzed without any a-priori restrictions, just based upon the processing of the results of the signal’s sampled measurements. The task is meaningful for the purposes of the rician data processing, in particular in the systems of magnetic-resonance visualization, in ultrasound visualization systems, at the optical signals’ analysis in range measuring systems, in radio location, etc. The results of the investigation have shown that the two parameter task solution of the proposed technique does not lead to the increase in demanded volume of computing resources compared with the one parameter task being solved in approximation that the second parameter of the task is known a-priori There are provided the results of the elaborated technique’s computer simulation. The results of the signal and noise parameters’ numerical calculation have confirmed the efficiency of the elaborated technique. There has been conducted the comparison of the accuracy of the sought-for parameters estimation by the technique having been developed in this paper and by the previously elaborated method of moments based upon processing the measured data for lower even moments of the signal to be analyzed.

В статье рассматривается одна из задач транспортного моделирования — поиск равновесного распределения транспортных потоков в сети. Для описания временных издержек и распределения потоков в сети, представляемой с помощью графа, используется классическая модель Бэкмана. При этом поведение агентов не является полностью рациональным, что описывается посредством введения марковской логит-динамики: в каждый момент времени водительвыбирает маршрут случайно согласно распределению Гиббса с учетом текущих временных затрат на ребрах графа. Таким образом, задача сводится к поиску стационарного распределения для данной динамики, которое является стохастическим равновесием Нэша – Вардропа в соответствующей популяционной игре загрузки транспортной сети. Так как данная игра является потенциальной, эта задача эквивалентна минимизации некоторого функционала от распределения потоков, причем стохастичностьпро является в появлении энтропийной регуляризации. Для полученной задачи оптимизации построена двойственная задача. Для ее решения применен универсальный прямо-двойственный градиентный метод. Его особенность заключается в адаптивной настройке на локальную гладкость задачи, что особенно важно при сложной структуре целевой функции и невозможности априорно оценитьг ладкость с приемлемой точностью. Такая ситуация имеет место в рассматриваемой задаче, так как свойства функции сильно зависят от транспортного графа, на который мы не накладываем сильных ограничений. В статье приводится описание алгоритма, в том числе подробно рассмотрено применение численного дифференцирования для вычисления значения и градиента целевой функции. В работе представлены теоретическая оценка времени работы алгоритма и результаты численных экспериментов на примере небольшого американского города.

We consider one of the problems of transport modelling — searching the equilibrium distribution of traffic flows in the network. We use the classic Beckman’s model to describe time costs and flow distribution in the network represented by directed graph. Meanwhile agents’ behavior is not completely rational, what is described by the introduction of Markov logit dynamics: any driver selects a route randomly according to the Gibbs’ distribution taking into account current time costs on the edges of the graph. Thus, the problem is reduced to searching of the stationary distribution for this dynamics which is a stochastic Nash – Wardrope equilibrium in the corresponding population congestion game in the transport network. Since the game is potential, this problem is equivalent to the problem of minimization of some functional over flows distribution. The stochasticity is reflected in the appearance of the entropy regularization, in contrast to non-stochastic case. The dual problem is constructed to obtain a solution of the optimization problem. The universal primal-dual gradient method is applied. A major specificity of this method lies in an adaptive adjustment to the local smoothness of the problem, what is most important in case of the complex structure of the objective function and an inability to obtain a prior smoothness bound with acceptable accuracy. Such a situation occurs in the considered problem since the properties of the function strongly depend on the transport graph, on which we do not impose strong restrictions. The article describes the algorithm including the numerical differentiation for calculation of the objective function value and gradient. In addition, the paper represents a theoretical estimate of time complexity of the algorithm and the results of numerical experiments conducted on a small American town.