All issues

Работа посвящена теоретическому обоснованию неявного итерационного полинейного рекуррентного метода решения систем разностных уравнений, которые возникают при аппроксимации двумерных эллиптических дифференциальных уравнений на регулярной сетке. Высокая эффективность этого метода практически подтверждена при решении сложных тестовых задач, а также задач течения и теплообмена вязкой несжимаемой жидкости. Однако теоретические положения, объясняющие высокую скорость сходимости и устойчивость метода, до сих пор оставались за кадром внимания, что и послужило причиной проведения настоящего исследования. В работе подробно излагается процедура эквивалентных и приближенных преобразований исходной системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) как в матрично-векторной форме, так и виде расчетных формул метода. При этом для наглядности изложения материала ключевые моменты преобразований иллюстрируются схемами изменения разностных шаблонов, отвечающих преобразованным уравнениям. Конечная цель процедуры преобразований — получение канонической формы записи метода, из которого следует его корректность в случае сходимости решения. На основе анализа структур и элементных составов матричных операторов проводится оценка их норм и, соответственно, доказывается сходимость метода для произвольных начальных векторов.

В специальном случае слабых ограничений на искомое решение производится оценка нормы оператора перехода. Показывается, что с ростом размерности матрицы этого оператора величина его нормы уменьшается пропорционально квадрату (или кубу, в зависимости от версии метода) шага сеточного разбиения области решения задачи. С помощью простых оценок получено необходимое условие устойчивости метода. Также даются рекомендации относительно выбора по порядку величины оптимального итерационного параметра компенсации. Теоретические выводы проиллюстрированы результатами решения тестовых задач. Показано, что при увеличении размерности сеточного разбиения области решения количество итераций, необходимых для достижения заданной точности решения, при прочих равных условиях уменьшается. Также продемонстрировано, что если слабые ограничения на решение нарушены при выборе его начального приближения, то в полном соответствии с полученными теоретическими результатами скорость сходимости метода существенно уменьшается.

In the article a theory of the implicit iterative line-by-line recurrence method for solving the systems of finite-difference equations which arise as a result of approximation of the two-dimensional elliptic differential equations on a regular grid is stated. On the one hand, the high effectiveness of the method has confirmed in practice. Some complex test problems, as well as several problems of fluid flow and heat transfer of a viscous incompressible liquid, have solved with its use. On the other hand, the theoretical provisions that explain the high convergence rate of the method and its stability are not yet presented in the literature. This fact is the reason for the present investigation. In the paper, the procedure of equivalent and approximate transformations of the initial system of linear algebraic equations (SLAE) is described in detail. The transformations are presented in a matrix-vector form, as well as in the form of the computational formulas of the method. The key points of the transformations are illustrated by schemes of changing of the difference stencils that correspond to the transformed equations. The canonical form of the method is the goal of the transformation procedure. The correctness of the method follows from the canonical form in the case of the solution convergence. The estimation of norms of the matrix operators is carried out on the basis of analysis of structures and element sets of the corresponding matrices. As a result, the convergence of the method is proved for arbitrary initial vectors of the solution of the problem.

The norm of the transition matrix operator is estimated in the special case of weak restrictions on a desired solution. It is shown, that the value of this norm decreases proportionally to the second power (or third degree, it depends on the version of the method) of the grid step of the problem solution area in the case of transition matrix order increases. The necessary condition of the method stability is obtained by means of simple estimates of the vector of an approximate solution. Also, the estimate in order of magnitude of the optimum iterative compensation parameter is given. Theoretical conclusions are illustrated by using the solutions of the test problems. It is shown, that the number of the iterations required to achieve a given accuracy of the solution decreases if a grid size of the solution area increases. It is also demonstrated that if the weak restrictions on solution are violated in the choice of the initial approximation of the solution, then the rate of convergence of the method decreases essentially in full accordance with the deduced theoretical results.

В работе рассматриваются особенности статистического распределения Райса, обусловливающие возможность его эффективного применения при решении задач высокоточных фазовых измерений в оптике. Дается строгое математическое доказательство свойства устойчивости статистического распределения Райса на примере рассмотрения разностного сигнала, а именно: доказано, что сумма или разность двух райсовских сигналов также подчиняются распределению Райса. Кроме того, получены формулы для параметров райсовского распределения результирующего суммарного или разностного сигнала. На основании доказанного свойства устойчивости распределения Райса в работе разработан новый оригинальный метод высокоточного измерения разности фаз двух квазигармонических сигналов. Этот метод базируется на статистическом анализе измеренных выборочных данных для обоих амплитуд сигналов и амплитуды третьего сигнала, представляющего собой разность сопоставляемых по фазе сигналов. Искомый фазовый сдвиг двух квазигармонических сигналов определяется исходя из геометрических соображений как угол треугольника, сформированного восстановленными на фоне шума значениями амплитуд трех упомянутых сигналов. Тем самым предлагаемый метод измерения фазового сдвига с использованием разностного сигнала основан исключительно на амплитудных измерениях, что существенно снижает требования к оборудованию и облегчает реализацию метода на практике. В работе представлены как строгое математическое обоснование нового метода измерения разности фаз сигналов, так и результаты его численного тестирования. Разработанный метод высокоточных фазовых измерений может эффективно применяться для решения широкого круга задач в различных областях науки и техники, в частности в дальнометрии, в системах коммуникации, навигации и т. п.

The paper concerns the study of the Rice statistical distribution’s peculiarities which cause the possibility of its efficient application in solving the tasks of high precision phase measuring in optics. The strict mathematical proof of the Rician distribution’s stable character is provided in the example of the differential signal consideration, namely: it has been proved that the sum or the difference of two Rician signals also obey the Rice distribution. Besides, the formulas have been obtained for the parameters of the resulting summand or differential signal’s Rice distribution. Based upon the proved stable character of the Rice distribution a new original technique of the high precision measuring of the two quasi-harmonic signals’ phase shift has been elaborated in the paper. This technique is grounded in the statistical analysis of the measured sampled data for the amplitudes of the both signals and for the amplitude of the third signal which is equal to the difference of the two signals to be compared in phase. The sought-for phase shift of two quasi-harmonic signals is being calculated from the geometrical considerations as an angle of a triangle which sides are equal to the three indicated signals’ amplitude values having been reconstructed against the noise background. Thereby, the proposed technique of measuring the phase shift using the differential signal analysis, is based upon the amplitude measurements only, what significantly decreases the demands to the equipment and simplifies the technique implementation in practice. The paper provides both the strict mathematical substantiation of a new phase shift measuring technique and the results of its numerical testing. The elaborated method of high precision phase measurements may be efficiently applied for solving a wide circle of tasks in various areas of science and technology, in particular — at distance measuring, in communication systems, in navigation, etc.

В предлагаемой статье приводятся результаты аналитического и компьютерного исследования коллективных динамических свойств цепочки автоколебательных систем (условно — осцилляторов). Предполагается, что связи отдельных элементов цепочки являются невзаимными, однонаправленными. Точнее, предполагается, что каждый элемент цепочки находится под воздействием предыдущего, в то время как обратная реакция отсутствует (физически несущественна). В этом состоит главная особенность цепочки. Данную систему можно интерпретировать как активную дискретную среду с однонаправленным переносом, в частности переносом вещества. Подобные цепочки могут являться математическими моделями реальных систем с решеточной структурой, имеющих место в самых различных областях естествознания и техники: в физике, химии, биологии, радиотехнике, экономике и др. Также они могут быть моделями технологических и вычислительных процессов. В качестве элементов решетки выбраны нелинейные автоколебательные системы (условно — осцилляторы) с широким спектром потенциально возможных индивидуальных автоколебаний: от периодических до хаотических. Это позволяет исследовать различные динамические режимы цепочки от регулярных до хаотических, меняя параметры элементов и не меняя природу самих элементов. Совместное применение качественных методов теории динамических систем и качественно-численных методов позволяет получить обозримую картину всевозможных динамических режимов цепочки. Исследуются условия существования и устойчивости пространственно однородных динамических режимов (детерминированных и хаотических) цепочки. Аналитические результаты иллюстрированы численным экспериментом. Исследуются динамические режимы цепочки при возмущениях параметров на ее границе. Показывается возможность управления динамическими режимами цепочки путем включения необходимого возмущения на границе. Рассматриваются различные случаи динамики цепочек, составленных из неоднородных (различных по своим параметрам) элементов. Аналитически и численно исследуется глобальная (всех осцилляторов цепочки) хаотическая синхронизация.

This article presents the results of an analytical and computer study of the collective dynamic properties of a chain of self-oscillating systems (conditionally — oscillators). It is assumed that the couplings of individual elements of the chain are non-reciprocal, unidirectional. More precisely, it is assumed that each element of the chain is under the influence of the previous one, while the reverse reaction is absent (physically insignificant). This is the main feature of the chain. This system can be interpreted as an active discrete medium with unidirectional transfer, in particular, the transfer of a matter. Such chains can represent mathematical models of real systems having a lattice structure that occur in various fields of natural science and technology: physics, chemistry, biology, radio engineering, economics, etc. They can also represent models of technological and computational processes. Nonlinear self-oscillating systems (conditionally, oscillators) with a wide “spectrum” of potentially possible individual self-oscillations, from periodic to chaotic, were chosen as the “elements” of the lattice. This allows one to explore various dynamic modes of the chain from regular to chaotic, changing the parameters of the elements and not changing the nature of the elements themselves. The joint application of qualitative methods of the theory of dynamical systems and qualitative-numerical methods allows one to obtain a clear picture of all possible dynamic regimes of the chain. The conditions for the existence and stability of spatially-homogeneous dynamic regimes (deterministic and chaotic) of the chain are studied. The analytical results are illustrated by a numerical experiment. The dynamical regimes of the chain are studied under perturbations of parameters at its boundary. The possibility of controlling the dynamic regimes of the chain by turning on the necessary perturbation at the boundary is shown. Various cases of the dynamics of chains comprised of inhomogeneous (different in their parameters) elements are considered. The global chaotic synchronization (of all oscillators in the chain) is studied analytically and numerically.

Представлен алгоритм моделирования ансамбля траекторий нестационарных временных рядов. Построена численная схема аппроксимации выборочной плотности функции распределения в задаче с закрепленными концами, когда начальное распределение за заданное количество шагов переходит в определенное конечное распределение, так, что на каждом шаге выполняется полугрупповое свойство решения уравнения Лиувилля. Модель позволяет численно построить эволюционирующие плотности функций распределения при случайном переключении состояний системы, порождающей исходный временной ряд.

Основная проблема, рассматриваемая в работе, связана с тем, что при численной реализации левосторонней разностной производной по времени решение становится неустойчивым, но именно такой подход отвечает моделированию эволюции. При выборе неявных устойчивых схем с «заходом в будущее» используется итерационный процесс, который на каждом своем шаге не отвечает полугрупповому свойству. Если же моделируется некоторый реальный процесс, в котором предположительно имеет место целеполагание, то желательно использовать схемы, которые порождают модель переходного процесса. Такая модель используется в дальнейшем для того, чтобы построить предиктор разладки, который позволит определить, в какое именно состояние переходит изучаемый процесс до того, как он действительно в него перешел. Описываемая в статье модель может использоваться как инструментарий моделирования реальных нестационарных временных рядов.

Схема моделирования состоит в следующем. Из заданного временного ряда отбираются фрагменты, отвечающие определенным состояниям, например трендам с заданными углами наклона и дисперсиями. Из этих фрагментов составляются эталонные распределения состояний. Затем определяются эмпирические распределения длительностей пребывания системы в указанных состояниях и длительности времени перехода из состояния в состояние. В соответствии с этими эмпирическими распределениями строится вероятностная модель разладки и моделируются соответствующие траектории временного ряда.

This paper presents algorithm for modeling set of trajectories of non-stationary time series, based on a numerical scheme for approximating the sample density of the distribution function in a problem with fixed ends, when the initial distribution for a given number of steps transforms into a certain final distribution, so that at each step the semigroup property of solving the Liouville equation is satisfied. The model makes it possible to numerically construct evolving densities of distribution functions during random switching of states of the system generating the original time series.

The main problem is related to the fact that with the numerical implementation of the left-hand differential derivative in time, the solution becomes unstable, but such approach corresponds to the modeling of evolution. An integrative approach is used while choosing implicit stable schemes with “going into the future”, this does not match the semigroup property at each step. If, on the other hand, some real process is being modeled, in which goal-setting presumably takes place, then it is desirable to use schemes that generate a model of the transition process. Such model is used in the future in order to build a predictor of the disorder, which will allow you to determine exactly what state the process under study is going into, before the process really went into it. The model described in the article can be used as a tool for modeling real non-stationary time series.

Steps of the modeling scheme are described further. Fragments corresponding to certain states are selected from a given time series, for example, trends with specified slope angles and variances. Reference distributions of states are compiled from these fragments. Then the empirical distributions of the duration of the system’s stay in the specified states and the duration of the transition time from state to state are determined. In accordance with these empirical distributions, a probabilistic model of the disorder is constructed and the corresponding trajectories of the time series are modeled.

Современная литература содержит многочисленные примеры применения распределений с тяжелыми хвостами для прикладных исследований сложных систем. Моделирование экстремальных данных обычно ограничено небольшим набором форм распределений, которые исторически применяются в данной области прикладных исследований. Расширение набора форм возможно посредством сопоставления мер форм распределений. В работе на примере бета-распределения второго рода показано, что неопределенность моментов тяжелохвостых бета-распределений ограничивает применимость классических методов моментов для исследования их форм. На данном этапе сохраняется актуальность построения методов сопоставления распределений с помощью квантильных мер формы, которые освобождены от ограничений на параметры формы. Цель работы состоит в компьютерном исследовании возможности построения пространства квантильных мер форм для проведения сравнения распределений с тяжелыми хвостами. На основе компьютерного моделирования проводится картирование реализаций распределений в пространстве параметрических, квантильных и информационных мер формы. Картирование распределений в пространстве только параметрических мер формы показало, что наложение множества распределений с тяжелыми хвостами в пространстве квантильных мер асимметрии и эксцесса не позволяет сопоставить формы распределений, принадлежащие разным типам распределений. Хорошо известно, что информационные меры содержат дополнительную информацию о мере формы распределений. В работе предложен квантильный коэффициент энтропии в качестве дополнительной независимой меры формы, построенной на отношении интервалов энтропийной и квантильной неопределенностей. На примере логнормального распределения и распределения Парето иллюстрируются возможности сравнения форм распределений с реализациями бета-распределения второго рода. В частности показано, что, несмотря на близость положений форм в трехмерном пространстве, формы реализаций логнормального распределения отсутствуют среди реализаций бета-распределения второго рода. Картирование положения устойчивых распределений в трехмерном пространстве квантильных мер форм позволило оценить параметры формы бета-распределения второго рода, для которого форма наиболее близка к форме распределения Леви. Из материала статьи следует, что отображение распределений в трехмерном пространстве квантильных мер форм значительно расширяет возможность сравнения форм для распределений с тяжелыми хвостами.

Currently, journal papers contain numerous examples of the use of heavy-tailed distributions for applied research on various complex systems. Models of extreme data are usually limited to a small set of distribution shapes that in this field of applied research historically been used. It is possible to increase the composition of the set of probability distributions shapes through comparing the measures of the distribution shapes and choosing the most suitable implementations. The example of a beta distribution of the second kind shown that the lack of definability of the moments of heavy-tailed implementations of the beta family of distributions limits the applicability of the existing classical methods of moments for studying the distributions shapes when are characterized heavy tails. For this reason, the development of new methods for comparing distributions based on quantile shape measures free from the restrictions on the shape parameters remains relevant study the possibility of constructing a space of quantile measures of shapes for comparing distributions with heavy tails. The operation purpose consists in computer research of creation possibility of space of the quantile’s measures for the comparing of distributions property with heavy tails. On the basis of computer simulation there the distributions implementations in measures space of shapes were been shown. Mapping distributions in space only of the parametrical measures of shapes has shown that the imposition of regions for heavy tails distribution made impossible compare the shape of distributions belonging to different type in the space of quantile measures of skewness and kurtosis. It is well known that shape information measures such as entropy and entropy uncertainty interval contain additional information about the shape measure of heavy-tailed distributions. In this paper, a quantile entropy coefficient is proposed as an additional independent measure of shape, which is based on the ratio of entropy and quantile uncertainty intervals. Also estimates of quantile entropy coefficients are obtained for a number of well-known heavy-tailed distributions. The possibility of comparing the distributions shapes with realizations of the beta distribution of the second kind is illustrated by the example of the lognormal distribution and the Pareto distribution. Due to mapping the position of stable distributions in the three-dimensional space of quantile measures of shapes estimate made it possible the shape parameters to of the beta distribution of the second kind, for which shape is closest to the Lévy shape. From the paper material it follows that the display of distributions in the three-dimensional space of quantile measures of the forms of skewness, kurtosis and entropy coefficient significantly expands the possibility of comparing the forms for distributions with heavy tails.

Последние годы получило широкое распространение применение нейросетевых моделей для решения задач аэродинамики. В основном такие модели, обученные по некоторому набору ранее полученных решений, позволяют предсказывать решения новых задач и являются в некотором смысле алгоритмами интерполяции. Альтернативным подходом может служить построение нейросетевого оператора, представляющего собой нейросетевую модель, которая воспроизводит поведение численного метода решения задачи. Такая модель позволяет находить решение задачи итерациями. В работе рассматривается вариант построения такого оператора с применением нейронной сети типа UNet с пространственным механизмом внимания для решения задач обтекания на прямоугольной равномерной сетке, общей для обтекаемого тела и поля течения. Для уточнения полученного решения предлагается и исследуется механизм коррекции решения. Анализируется вопрос устойчивости такого алгоритма решения стационарной задачи, проводится сравнение с некоторыми другими вариантами его построения: прием с продвижением вперед (pushforward trick), позиционное встраивание. Рассматривается вопрос выбора набора итераций для формирования обучающей выборки. Оценивается поведение решения при многократном применении нейросетевого оператора.

Демонстрация метода приводится для случая обтекания скругленной пластины турбулентным потоком воздуха с различными вариантами скругления при фиксированных параметрах набегающего потока с числом Рейнольдса $\text{Re} = 10^5$ и числом Маха $M = 0,15$. Поскольку течения с такими параметрами набегающего потока можно считать несжимаемыми, исследуются непосредственно только компоненты скорости. При этом нейросетевая модель, используемая для построения оператора, имеет общий декодер для обеих компонент скорости. Проводится сравнение полей течения и профилей скорости по нормали и по обводу тела, полученных нейросетевым оператором и численно. Анализ проводится как на пластине, так и на скруглении. Результаты моделирования подтверждают, что нейросетевой оператор позволяет находить решение с высокой точностью устойчивым образом.

In recent years, the use of neural network models for solving aerodynamics problems has become widespread. These models, trained on a set of previously obtained solutions, predict solutions to new problems. They are, in essence, interpolation algorithms. An alternative approach is to construct a neural network operator. This is a neural network that reproduces a numerical method used to solve a problem. It allows to find the solution in iterations. The paper considers the construction of such an operator using the UNet neural network with a spatial attention mechanism. It solves flow problems on a rectangular uniform grid that is common to a streamlined body and flow field. A correction mechanism is proposed to clarify the obtained solution. The problem of the stability of such an algorithm for solving a stationary problem is analyzed, and a comparison is made with other variants of its construction, including pushforward trick and positional encoding. The issue of selecting a set of iterations for forming a train dataset is considered, and the behavior of the solution is assessed using repeated use of a neural network operator.

A demonstration of the method is provided for the case of flow around a rounded plate with a turbulent flow, with various options for rounding, for fixed parameters of the incoming flow, with Reynolds number $\text{Re} = 10^5$ and Mach number $M = 0.15$. Since flows with these parameters of the incoming flow can be considered incompressible, only velocity components are directly studied. At the same time, the neural network model used to construct the operator has a common decoder for both velocity components. Comparison of flow fields and velocity profiles along the normal and outline of the body, obtained using a neural network operator and numerical methods, is carried out. Analysis is performed both on the plate and rounding. Simulation results confirm that the neural network operator allows finding a solution with high accuracy and stability.

В работе рассматривается задача параметрической идентификации дискретных линейных стохастических систем, представленных уравнениями в пространстве состояний, с аддитивными и мультипликативными шумами. Предполагается, что уравнения состояния и измерения дискретной линейной стохастической системы зависят от неизвестного параметра, подлежащего идентификации.

Представлен новый подход к построению градиентных методов параметрической идентификации в классе дискретных линейных стохастических систем с аддитивными и мультиплика- тивными шумами, основанный на применении модифицированной взвешенной ортогонализации Грама – Шмидта (MWGS) и алгоритмов дискретной фильтрации информационного типа.

Основными теоретическими результатами данной работы являются: 1) новый критерий идентификации в терминах расширенного информационного LD-фильтра; 2) новый алгоритм вычисления значений производных по параметру неопределенности дискретной линейной стохастической системы в расширенном информационном LD-фильтре на основе прямой процедуры модифицированной взвешенной ортогонализации Грама – Шмидта; 3) новый метод вычисления градиента критерия идентификации на основе предложенного дифференцированного расширенного информационного LD-фильтра.

Преимуществом предложенного подхода является применение численно устойчивой к ошибкам машинного округления MWGS-ортогонализации, лежащей в основе разработанных методов и алгоритмов. Информационный LD-фильтр сохраняет симметричность и положительную определенность информационных матриц. Разработанные алгоритмы имеют блочно-матричную структуру, удобную для компьютерной реализации.

Все разработанные алгоритмы реализованы на языке MATLAB. Проведены серии численных экспериментов, результаты которых демонстрируют работоспособность предложенного подхода на примере решения задачи идентификации параметров математической модели сложной механической системы.

Полученные результаты могут быть использованы для построения методов параметрической идентификации математических моделей, представленных в пространстве состояний дискретными линейными стохастическими системами с аддитивными и мультипликативными шумами.

The paper considers the problem of parameter identification of discrete-time linear stochastic systems in the state space with additive and multiplicative noise. It is assumed that the state and measurements equations of a discrete-time linear stochastic system depend on an unknown parameter to be identified.

A new approach to the construction of gradient parameter identification methods in the class of discrete-time linear stochastic systems with additive and multiplicative noise is presented, based on the application of modified weighted Gram – Schmidt orthogonalization (MWGS) and the discrete-time information-type filtering algorithms.

The main theoretical results of this research include: 1) a new identification criterion in terms of an extended information filter; 2) a new algorithm for calculating derivatives with respect to an uncertainty parameter in a discrete-time linear stochastic system based on an extended information LD filter using the direct procedure of modified weighted Gram – Schmidt orthogonalization; and 3) a new method for calculating the gradient of identification criteria using a “differentiated” extended information LD filter.

The advantages of this approach are that it uses MWGS orthogonalization which is numerically stable against machine roundoff errors, and it forms the basis of all the developed methods and algorithms. The information LD-filter maintains the symmetry and positive definiteness of the information matrices. The algorithms have an array structure that is convenient for computer implementation.

All the developed algorithms were implemented in MATLAB. A series of numerical experiments were carried out. The results obtained demonstrated the operability of the proposed approach, using the example of solving the problem of parameter identification for a mathematical model of a complex mechanical system.

The results can be used to develop methods for identifying parameters in mathematical models that are represented in state space by discrete-time linear stochastic systems with additive and multiplicative noise.

Методом разделения переменных решена одномерная задача параболического типа с нелокальными краевыми условиями, содержащими вещественный параметр. Рассмотренные краевые условия не являются усиленно регулярными ни при каком значении параметра. Система собственных функций оператора второй производной, подчиненного краевым условиям исходной задачи, не обладает свойством базисности. Априорные оценки решения, полученные в работе, означают устойчивость решения по начальным данным.

A boundary value problem for partial differential equation with nonlocal boundary relations of special type is resolved by means of a slight modification of the separation of variables method. Ordinal differential operator of the second order subject to boundary conditions of the main problem is not self-adjoint. The system of eigenfunctions generated by the operator has no basis property in L₂[0,1] space. A special system of functions is proposed to expand the solution of the boundary value problem.

Для автономных систем ОДУ рассмотрено простейшее подмножество двухстадийных схем Розенброка с комплексными коэффициентами, численная реализация которых требует одного LU-разложения и одного вычисления Якобиана за шаг интегрирования.

Проведено теоретическое исследование точности и устойчивости таких методов. Получены новые A-устойчивые методы 3-го порядка точности с различными свойствами и возможностью простой оценки главного терма локальной погрешности, что необходимо для автоматического выбора шага. Проведено тестирование новых методов.

The basic subset of two-stage Rosenbrock schemes with complex coefficients for numerical solution of autonomous systems of ordinary differential equations (ODE) has been considered. Numerical realization of such schemes requires one LU-decomposition, two computations of right side function and one computation of Jacoby matrix of the system per one step. The full theoretical investigation of accuracy and stability of such schemes have been done. New A-stable methods of the 3-rd order of accuracy with different properties have been constructed. There are high order L-decremented schemes as well as schemes with simple estimation of the main term of truncation error which is necessary for automatic evaluation of time step. Testing of new methods has been performed.

Настоящая работа посвящена периодическим и непериодическим полулокальным сглаживающим сплайнам или S-сплайнам класса C^p, состоящим из полиномов степени n.
Первые p + 1 коэффициентов каждого полинома задаются значениями предыдущего полинома и его p первых производных в точке склейки, остальные n − p коэффициентов при старших производных полинома определяются методом наименьших квадратов. Эти условия дополняются или начальными условиями (непериодический случай), или условием периодичности сплайн-функции на отрезке определения. В работе выписана система линейных уравнений, определяющих коэффициенты полиномов, составляющих сплайн. Матрица системы имеет блочный вид. Доказаны теоремы существования и единственности. Показано, что сходимость сплайнов к исходной функции зависит от величин собственных значений матрицы устойчивости. Приведены примеры устойчивых S-сплайнов.

Semilocal smoothing splines or S-splines from class C ^p are considered. These splines consist of polynomials of a degree n, first p + 1 coefficients of each polynomial are determined by values of the previous polynomial and p its derivatives at the point of splice, coefficients at higher terms of the polynomial are determined by the least squares method. These conditions are supplemented by the periodicity condition for the spline function on the whole segment of definition or by initial conditions. Uniqueness and existence theorems are proved. Stability and convergence conditions for these splines are established.